LIEBE COMMUNITY,
HEUTE BILDEN WIR UNS MIT HILFE DES MONATSITEMS MAL ETWAS IM BEREICH DER MATHEMATIK WEITER.
UNSER GASTDOZENZ DR. ACULA WIRD UNS DIE UNENDLICHKEIT ERKLÄREN.
HILBERTS HOTEL IST EIN BERÜHMTES GEDANKENEXPERIMENT, DAS VOM DEUTSCHEN MATHEMATIKER DAVID HILBERT VORGESTELLT WURDE, UM DIE SELTSAME NATUR DES UNENDLICHEN ZU VERANSCHAULICHEN. ES DIENT DAZU, EINIGE DER INTUITIVEN MISSVERSTÄNDNISSE, DIE MENSCHEN ÜBER DAS UNENDLICHE HABEN, HERAUSZUFORDERN UND ZU ZEIGEN, DASS DIE UNENDLICHKEIT IHREN EIGENEN REGELN FOLGT, DIE SICH VON DEN MATHEMATISCHEN GESETZEN UNTERSCHEIDEN, DIE IN DER ENDLICHEN WELT GELTEN.
STELLEN SIE SICH EIN HOTEL VOR, DAS EINE UNENDLICHE ANZAHL VON ZIMMERN HAT, UND JEDES ZIMMER IST BESETZT. DAS HOTEL IST VOLL, ODER? NUN, HIER KOMMT DAS PARADOXON: SELBST WENN DAS HOTEL VOLL IST, KANN ES IMMER NOCH NEUE GÄSTE AUFNEHMEN. WIE IST DAS MÖGLICH?
1. EIN NEUER GAST:
WENN EIN NEUER GAST ANKOMMT, BITTET DER HOTELMANAGER EINFACH DEN GAST IN ZIMMER 1, IN ZIMMER 2 ZU ZIEHEN, DEN GAST IN ZIMMER 2, IN ZIMMER 3 ZU ZIEHEN, UND SO WEITER, AD INFINITUM. JEDER GAST BEWEGT SICH IN DAS ZIMMER MIT DER NÄCHSTHÖHEREN NUMMER. DA ES UNENDLICH VIELE ZIMMER GIBT, GIBT ES FÜR JEDEN GAST EIN NÄCHSTES ZIMMER. DAS URSPRÜNGLICHE ZIMMER 1 WIRD FREI, UND DER NEUE GAST KANN EINZIEHEN.
2. VIELE NEUE GÄSTE:
WAS IST, WENN EINE UNENDLICHE ANZAHL VON NEUEN GÄSTEN ANKOMMT? KEIN PROBLEM, SAGT DER HOTELMANAGER. ER BITTET JEDEN GAST, IN DAS ZIMMER ZU ZIEHEN, DESSEN NUMMER DAS DOPPELTE SEINER AKTUELLEN ZIMMERNUMMER IST – DER GAST AUS ZIMMER 1 ZIEHT IN ZIMMER 2, DER AUS ZIMMER 2 IN ZIMMER 4, ZIMMER 3 IN ZIMMER 6, UND SO WEITER. JETZT SIND ALLE UNGERADEN NUMMERN FREI, UND ES GIBT UNENDLICH VIELE UNGERADE NUMMERN, SODASS DIE UNENDLICH VIELEN NEUEN GÄSTE UNTERGEBRACHT WERDEN KÖNNEN.
3. UNENDLICH VIELE VOLL BESETZTE BUSSE:
STELLEN WIR UNS VOR, DASS UNENDLICH VIELE BUSSE ANKOMMEN, JEDER MIT UNENDLICH VIELEN PASSAGIEREN. UM SIE UNTERZUBRINGEN, KÖNNTE DER HOTELMANAGER JEDEM GAST EIN ZIMMER ZUWEISEN, DAS DER PRIMZAHL ZU IHRER GRUPPEN- UND SITZNUMMER ENTSPRICHT (DA ES UNENDLICH VIELE PRIMZAHLEN GIBT). JEDER GAST AUS JEDEM BUS BEKOMMT EIN EINDEUTIGES ZIMMER, UND ES GIBT IMMER NOCH UNENDLICH VIELE ZIMMER FÜR NEUE GÄSTE.
DAS HILBERTS HOTEL ZEIGT, DASS DAS KONZEPT DER UNENDLICHKEIT NICHT IMMER INTUITIV IST. ES GIBT VERSCHIEDENE "GRÖSSEN" ODER TYPEN VON UNENDLICHKEITEN, UND EINIGE UNENDLICHKEITEN KÖNNEN SOGAR GRÖSSER SEIN ALS ANDERE (DIES WIRD IN DER MATHEMATIK DURCH DIE THEORIE DER TRANSFINITEN ZAHLEN FORMALISIERT). DIESER GEDANKENVERSUCH ZEIGT, DASS UNSERE ALLTÄGLICHE LOGIK, DIE IN DER WELT DER ENDLICHEN DINGE FUNKTIONIERT, NICHT OHNE WEITERES AUF UNENDLICHE SITUATIONEN ANGEWENDET WERDEN KANN.
ZUM GLÜCK GIBT ES DAS MONATSITEM NUR DREIMAL UND NICHT UNENDLICH OFT. DA HÄTTEN WIR EIN ZIEMLICHES PROBLEM GENUG VERSTECKE ZU FINDEN.
EUER SGPGGB-TEAM
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